Большая советская энциклопедия - характеристическая функция

Характеристическая функция в математике, 1) то же, что собственная функция. 2) Х. ф. множества А (в современной терминологии — индикатор А) — функция f (x), определенная на некотором множестве Е, содержащем множество А, и принимающая значение f (x) = 1, если x принадлежит множеству А, и значение f (x) = 0, если x не принадлежит ему. 3) В теории вероятностей Х. ф. fX (t) случайной величины Х определяется как математическое ожидание величины eitX. Это определение для случайных величин, имеющих плотность вероятности pX (x), приводит к формуле Например, для случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами а и s, Х. ф. равна Свойства Х. ф.: каждой случайной величине Х соответствует определенная Х. ф. fX (t); распределение вероятностей для Х однозначно определяется по fX (t); при сложении независимых случайных величин соответствующие Х. ф. перемножаются; при надлежащем определении понятия «близости» случайным величинам с близкими распределениями соответствуют Х. ф., мало отличающиеся друг от друга, и, обратно, близким Х. ф. соответствуют случайные величины с близкими распределениями. Указанные свойства лежат в основе применений Х. ф., в частности к выводу предельных теорем теории вероятностей. Впервые аппарат, по существу равнозначный Х. ф., был использован П. Лапласом (1812), но вся сила метода Х. ф. была показана А. М. Ляпуновым (1901), получившим с его помощью свою известную теорему. Понятие Х. ф. может быть обобщено на конечные и бесконечные системы случайных величин (т. е. на случайные векторы и случайные процессы). Теория Х. ф. имеет много общего с теорией Фурье интеграла. Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973.